ИИ от OpenAI опроверг задачу Эрдёша, нерешённую 80 лет

Когда машина делает то, чего не смог ни один человек

Есть задачи, которые математики держат в голове десятилетиями — не потому что ленятся, а потому что они по-настоящему твёрдые. Гипотеза о единичных расстояниях Пола Эрдёша относилась именно к таким: простая формулировка, понятная школьнику, и полное отсутствие прогресса с 1946 года. И вот в мае 2026-го внутренняя модель рассуждений OpenAI её опровергла. Математик с мировым именем Тим Гауэрс, лауреат медали Филдса, назвал результат «вехой в математике ИИ». Я бы добавил: это веха вообще.

Что за задача и почему она была такой упрямой

Суть гипотезы Эрдёша деceptively проста. Возьмите набор точек на плоскости. Сколько пар из них могут находиться ровно на расстоянии одной единицы друг от друга? Эрдёш в 1946 году предположил, что слегка скошенная квадратная решётка уже близка к оптимуму — то есть никакое другое расположение точек принципиально не даст больше «единичных пар». За опровержение он лично предлагал $500 — по меркам математических призов скромно, но сам факт назначения награды говорил о серьёзности.

Задачу называют «вероятно, самой известной и простейшей в формулировке проблемой комбинаторной геометрии». При этом верхняя граница, доказанная ещё в 1984 году Спенсером, Семереди и Троттером, так и не была улучшена за 40+ лет. Математик Томас Блум буквально за месяц до прорыва включил эту задачу в свой личный топ-10 нерешённых проблем Эрдёша — именно потому что хотел показать: не все задачи Эрдёша тривиальны, как некоторые начали думать после того, как ИИ щёлкнул несколько более простых.

Что именно сделала модель

OpenAI опубликовала результат вместе с сопроводительной статьёй, которую написали девять внешних математиков — они верифицировали, сократили и прокомментировали доказательство. Это важная деталь: не просто «ИИ что-то выдал», а полноценная научная проверка.

Модель нашла новое расположение точек, которое даёт заметно больше единичных пар, чем классическая квадратная решётка. Уилл Сауин из Принстона оценивает прирост примерно в один процент дополнительных пар на каждое удвоение числа точек. Звучит скромно? Но именно это Эрдёш считал невозможным в принципе.

Самое поразительное — откуда взялись инструменты. Не из геометрии. Модель применила методы алгебраической теории чисел: комплексные числовые системы, внутренние симметрии которых создают особенно плотные точечные паттерны. Эти инструменты давно стандартны в теории чисел, но применить их к базовой задаче планиметрии — это никому в голову не приходило. Точнее, не складывалось в голове одновременно.

Почему люди это пропустили

Блум в своей части сопроводительной статьи честно разобрал, почему человек не нашёл этот путь. Нужно было одновременно: потратить серьёзное время именно на эту задачу, поставить против мнения самого Эрдёша и реально попробовать опровергнуть его, захотеть перевести задачу в язык числовых полей, и при этом хорошо знать довольно специализированную теорию полей классов. «ИИ соответствовал всем этим критериям», — пишет Блум. Машина сочетает «сверхчеловеческое терпение с владением огромным арсеналом технических методов».

Сауин добавляет техническую тонкость: очевидный путь обобщения — взять одну расширенную числовую систему и брать из неё всё большие куски — просто возвращает к старой границе Эрдёша. Ключевой трюк модели был противоположным: держать масштаб фиксированным внутри каждой системы, но переключаться на всё более богатые числовые системы на каждом шаге. Почему именно это работает — не было очевидно никому из математиков даже после того, как они увидели доказательство.

Что это значит для ИИ и науки

Я слежу за математическими достижениями ИИ с момента, когда AlphaProof и AlphaGeometry от DeepMind взяли задачи олимпийского уровня. Но там речь шла о задачах с известными подходами — просто требующих точности и перебора. Здесь другое: модель OpenAI не просто решила задачу, она нашла неожиданный концептуальный мост между двумя областями математики, который профессионалы не видели восемь десятилетий.

Это принципиально меняет разговор о том, что ИИ умеет в науке. До сих пор стандартный аргумент скептиков звучал так: «Машина хорошо верифицирует и оптимизирует, но не генерирует принципиально новые идеи». Этот кейс — прямой контраргумент. Задача не была решена с помощью перебора вариантов или формальной верификации известного подхода. Был найден нетривиальный концептуальный ход.

При этом задача не закрыта полностью: верхняя граница 1984 года всё ещё стоит намного выше того, что достигает новая конструкция. Разрыв между тем, что найдено, и теоретическим пределом остаётся огромным. Но теперь мы знаем, что граница снизу — не там, где думал Эрдёш.

Контекст и практические выводы

OpenAI не раскрывает, какая именно модель сделала это открытие — говорят только «внутренняя модель рассуждений». Судя по всему, речь идёт о чём-то из семейства o-моделей, заточенных под длинные цепочки рассуждений. Для сравнения: GPT-4o или Claude 3.5 с такими задачами не справляются даже близко — у них нет ни нужной глубины рассуждений, ни знания специализированной математики на уровне, позволяющем делать такие переносы между областями.

Для российских пользователей: доступ к продвинутым reasoning-моделям OpenAI через API формально требует зарубежной карты и нередко VPN. Но сам факт прорыва важнее вопроса доступа — он меняет представление о горизонте возможного.

Что меня по-настоящему впечатляет: математическое сообщество не отмахнулось от результата. Девять серьёзных математиков потратили время на верификацию и написали совместную статью. Это признание. И это сигнал: эпоха, когда ИИ помогает математикам проверять доказательства, сменяется эпохой, когда ИИ предлагает идеи, которые математики потом разбирают.